高校物理力のつり合い問題

前回の記事で、保存力のみが働く系では、エネルギーと仕事の関係より、力学的エネルギー保存則が導かれることを見ました。その際に、保存力のする仕事に対応するエネルギーとして、ポテンシャルエネルギーという概念を導入しました。ここでは、このポテンシャルエネルギーについて少し詳しく見ていきます。※ 私の記憶が正しければ、この記事のようなポテンシャルエネルギーの使い方は、高校物理ではほとんどやらなかったように思います。ただ、この考えは非常に便利、かつ、物理のどの分野でも使う重要な考え方な上、数学的に難しいことは何もありません。前回の記事では、具体例で考えましたが、少し一般的な議論をします。保存力 $ F(x)$ (重力、復元力)が働く、質量$m$の物体の運動を考えます。上のように、原点から$x$まで動いたとします。\[ \frac{1}{2}mv^2 -\frac{1}{2}mv^2_0 = \int^{x}_{0} F(x’) \hspace{0.1cm} dx’. 高校物理／物理基礎の公式の忘れない覚え方とコツ . 高校物理において正の方向はどっちでもいい事を証明する ... 【良問】斜面にある物体と摩擦力の問題 2020年6月20日 koji. まだ高校物理、暗記してるの？力学の良問【良問】一体として考える力のつり合いの問題物理基礎一問一答第1編運動とエネルギーについてまとめました。学校の定期テスト対策にお使いください。塾や家庭教師、ご自宅、学校など様々なところでご使用になれます。全て無料でダウンロードで … 力学. 覚えようとしないこと.

高校物理. ぼくが高校の時、物理の先生にこう言われた。もちろんはじめは「は？」となったのだが、どうやら「丸暗記しようとするな」というニュアンスだったらしい。 \tag{式1}\] これを、次のように書き直したものが、エネルギー保存則でした。\[ \frac{1}{2}mv^2_0 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 \hspace{0.1cm} – \int_{0}^{x} F(x’) \hspace{0.1cm} dx’. 高校などで用いる物理や物理基礎の公式一覧があったらネット上にあったら便利だなあと思い、残しておくことにした。$$K=\frac{1}{2}mv^2$$と、このようにきちんと数式として表示しているため、見やすさには自信がある。しかしながら、ご覧の通りまだ編集中なわけである。それでも公式の覚え方も合わせて紹介していくので、お付き合いいただけたら幸いである。その他、編集中。ぼくが高校の時、物理の先生にこう言われた。もちろんはじめは「は？」となったのだが、どうやら「丸暗記しようとするな」というニュアンスだったらしい。というのも、教科書や参考書にはご丁寧にありとあらゆる公式が記載されていると思うのだが、これをすべて覚えようとしなくていいということ。もちろん絶対に覚えていなければならない公式もあるのだが、多くはそこから導き出せるようなものばかりだ。したがって、まず一つ目は「覚えようとしないこと」がコツといえる。これは決して根性論を述べているのではない。効率よく公式を覚えるためには、「たくさんの問題を解くこと」が必要となる。前述の通り、公式は「覚えようとしないこと」がコツだ。しかし実際に問題に触れてみなければ、どの公式が絶対に覚えなければならないものかという判断がつかない。物理に限らず、理系の科目は基本的に手を動かすことがレベルアップの近道だ。

よって答えは「23.5 Nより大きい力」となります。練習問題3. 垂直方向の力のつり合いを考えると、N＝3.0×9.8 水平方向の力のつり合いを考えると、F＝f 0 ＝μN＝0.80×3.0×9.8＝23.52. 今回の問題の主役は「糸」です。何気なくいるアイツ... さらに詳しく言うなら、軽くて伸びない糸です。三角関数、力の分解、糸の張力を理解するのに絶妙な問題です。この問題のポイントも、相変わらずベクトルを書き込むことなので、しっかり復習しましょう。

水平であらい面の床の上に1kgの物体が置かれている。 \tag{式2}\]今、原点をエネルギーの基準点 (重力の場合の高さの基準点)としているので、ポテンシャルエネルギーは0で、運動エネルギーのみとなっています。そして、右辺の2項目がポテンシャルエネルギー $U(x)$に対応します。つまり、数式上は、ポテンシャルエネルギーは次のように定義されます。\[ U(x) =\hspace{0.1cm} – \int_{0}^{x} F(x’) \hspace{0.1cm} dx’. \tag{式3} \]つまり、前回、バネのポテンシャルエネルギーは$\frac{1}{2}kx^2$で与えられる、と書きましたが、実際にこの「定義式」に従って計算すると、\[ U(x) = -\int_0^{x} (-kx’) dx’ = \frac{1}{2} kx^2, \tag{式4} \]と出てきます [バネの復元力は、引っ張った方向と逆向きにに働くので、$-kx’$となっています]。重力の場合も、次のように座標をとって、ポテンシャルエネルギーの定義式から計算すれば、\[ U(x) = -\int_0^{x} (-mg) dx’ = mgx, \tag{式5} \]と出てきます。※ よく出てくるポテンシャルエネルギーにはあだ名がついています。例えば、重力に関するポテンシャルエネルギーは「位置エネルギー」、バネの復元力に関するポテンシャルエネルギーは「弾性エネルギー」とも呼ばれます。ポテンシャルエネルギーの定義式\[ U(x) =\hspace{0.1cm} – \int_{0}^{x} F(x’) \hspace{0.1cm} dx’ \]を、両辺$x$で微分すると [右辺は微積分学の基本定理を使う]、\[ F(x) = -\frac{d U(x)}{dx} , \tag{式6}\]が得られます。すなわち、つまり、運動方程式は、保存力のみが働く場合 (摩擦、空気抵抗がない場合)、\[ ma = m \frac{d^2 x(t)}{dt^2}= -\frac{d U(x)}{dx} , \tag{式7}\]とポテンシャルエネルギーを使って書くことが出来ます。このポテンシャルエネルギーの考え方の素晴らしさを実感するために、具体的な問題を考えてみます。下図のように、均等に取り付けられた回転する3本の棒 (長さ$L$) の先に、3つのボールを取り付けます。ボールの質量はそれぞれ、$m$、$\frac{3}{2}m$、$2m$とします。この時、それぞれのボールの位置は、上の図で示した角度 $\theta$ [$ 0\leq \theta<2\pi$]を与えれば決まります。では、$\theta$が何度にして手をパッと離せば、全体が止まるでしょうか？先ず、全体のポテンシャルエネルギーを $\theta$の関数として求めましょう。高さの基準を回転軸の位置にとると、ちょっと複雑ですが上の図を見てもらうと、各ボールのポテンシャルエネルギーは、\begin{align} (ボール1):\hspace{0.5cm} & U_1(\theta)= mgL\cos\theta \\[6pt] (ボール2): \hspace{0.5cm}& U_2(\theta)= -\frac{3}{2}mgL\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \\[6pt] (ボール3): \hspace{0.5cm}& U_3(\theta)= -2mgL\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) \end{align}つまり、全体のポテンシャルエネルギーは、\begin{align} U(\theta) &= U_1(\theta) + U_2(\theta) + U_3(\theta) \\[6pt] &= mgL\left[\cos\theta \hspace{0.05cm}- \frac{3}{2} \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \hspace{0.05cm}- 2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) \right] \\[6pt] &= -\frac{\sqrt{3}}{2}mgL \cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right),\tag{式8}\end{align}というなります (最後の等式は三角関数の合成です)。グラフを描いてみると、次のようになります。さて、$\theta$が何度のところで手を離せば全体が止まるでしょか。今の場合の運動方程式は、(式7)より、\[ m \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} = – \frac{d U(\theta)}{d\theta}, \]となります (座標が$x$ではなく、角度$\theta$になっているだけです)。物体が静止するということは、物体に働く力が釣り合って、$0$である、ということでした。ですから、傾きが$0$になるのは、上のグラフを見ると明らかですが、\[ \theta =\frac{\pi}{6}, \hspace{0.1cm}\frac{7\pi}{6}, \]の2点です。この角度で、そっと手を離すと角度$\theta$は変化せずに、全体が止まります。このような点は、一般に実は、「つり合い点」には、上の図のような (a)、(b)、２つの台の真ん中にボールをそっと置いて手を離すとします。どちらの場合も、重力と垂直抗力が打ち消し合うため、ボールに働く力は０となり、ボールは止まります。つまり、つり合い点となっています。しかし実際には、(b)の場合にボールを静止させるのは、至難の業です。ちょっとでもズレると、坂道を転がっていってしまいます。このような、さて、元の問題に戻りましょう。つり合いの点が２つ [$\theta=\pi/6, 7\pi/6$]ありますが、それぞれの安定・不安定を確認します。確認の仕方は簡単です。それぞれのつり合い点から少しズレた点での、力の向きを確認すれば分かります。(式６)より、力は「ポテンシャルエネルギーの傾きの逆符号」なので・傾きが負 $\to$ プラスの向きの力が働く・傾きが正 $\to$ マイナスの向きの力が働くということになります。上の図では、この力の向きを書き込んでいます。すると、$\theta=\pi/6$のつり合い点には、周囲から力の矢印が集まってくることが分かります。つまり、ズレてもそのズレを戻そうとする力が働くので、この点は安定な釣り合い点です。一方、$\theta=7\pi/6$のつり合い点からは、力の矢印が出ていっているので、ちょっとズレるとそのズレを増大させる力が働くことになります。そのため、この点は不安定なつり合い点、となります。結局、下の(a)の状況は、安定なつり合いの状態なので簡単に静止させられますが、(b)の状況は、不安定なつり合いの状態なので、静止させることは不可能、ということが分かります。以上の結果は、このポテンシャルエネルギーの概念を知らないと、なかなか簡単には得ることが出来ません。ポテンシャルエネルギーの考え方の素晴らしさが実感できる、良い例だと思います。もう少し一般的な話を最後にします。ポテンシャルエネルギーのグラフを描いたら、次のようになったとします。先ほど同様、傾きが０となる点がつり合いの点、そこにそっと物体を置けば物体が静止する点となります。上の場合には、A〜Dの４点がつり合い点となります。そして、それぞれのつり合い点の安定・不安定の判定ですが、もちろん働く力の向きを考えれば良いのですが、結局、「山」(極大点)に対応するA、Cは不安定、「谷」(極小点)に対応するB、Dは安定なつり合い点となります。つまり、上の図はポテンシャルエネルギーのグラフなのですが、このように、ポテンシャルエネルギーのグラフから、電磁気学 ... このポテンシャルエネルギーの考え方の素晴らしさを実感するために、具体的な問題を考えてみます。 ... のつり合い点からは、力の矢印が出ていっているので、ちょっとズレるとそのズレを増大させる力が働くことになります

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